Materi Matematika Kelas 7 Bab 2 Himpunan

 

Materi Matematika Kelas 7
Bab 2 Himpunan

---

1. Konsep Himpunan

Cara 1: Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik (“…”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.

Contoh:

A = {3, 5, 7}

B = {2, 3, 5, 7}

C = {a, i, u, e, o}

D = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

2. Sifat-sifat Himpunan

a. Kardinalitas Himpunan

1.     Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set) Contoh A ={1, 2, 3, 4}

2.     Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set). Contoh B ={1, 2, 3, 4, …}

3.     Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

b. Himpunan Bagian

Masalah : 

Seluruh siswa kelas VIIA SMP Taman Siswa berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi.

Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.

 

Alternatif Pemecahan Masalah :

Jika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi.

c. Himpunan Kuasa

Contoh : 

Diberikan himpunan A = {1, 3, 5}. Berapa banyak semua himpunan bagian dari himpunan A dan sebutkan?

Penyelesaian Alternatif : 

Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut.

1. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 0, yaitu { }

2. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 1, yaitu {…}, {…}, {…}.

3. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 2, yaitu …

4. Himpunan bagian yang banyak anggotanya 3,yaitu …

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari A adalah 6, yaitu { … }

3. Operasi Himpunan

Contoh :

Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7) dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Selidiki apakah A ⊂ B, bagaimana hubungan A ∩ B dengan himpunan A?

Penyelesaian Alternatif :

Kedua himpunan itu adalah:

A = {1, 3, 5, 7)

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Untuk menyelidiki apakah A ⊂ B, kita lakukan langkah berikut.

Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu:

1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B.

Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A ⊂ B.

Hubungan A ∩ B dengan himpunan A:

Karena: 1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈ B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B

Maka (A ∩ B) = {1, 3, 5, 7}

Ternyata (A ∩ B) = A

Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa

Misalkan A dan B adalah dua himpunan tak kosong. Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A.

Operasi Himpunan

Contoh : 

Dalam suatu kelas terdapat 35 siswa. Di kelas tersebut ada 22 siswa suka makan soto, 15 siswa suka makan bakso, dan 3 siswa tidak suka keduanya.

Berapa siswa yang suka makan soto dan bakso?

Alternatif Pemecahan Masalah: 

Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas n(S) = 35.

Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang makan soto, maka n(A) = 22.

Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang suka makan bakso, maka n(B) = 15.

Misalkan C adalah himpunan siswa yang suka makan soto dan bakso n(C) = x

A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = x.

Misalkan D adalah himpunan siswa yang tidak suka makan soto dan bakso n(D) = 3.

Banyak siswa yang suka makan soto dan bakso adalah

n(S) = n(A) – x + n(A ∩ B) + n(B) – x + n(D)

35 = 22 – x + x + 15 – x + 3

35 = 22 + 15 + x + 3

35 = 40 – x

x = 40 – 35

x = 5

Jadi, banyaknya siswa yang suka soto dan bakso adalah 5 siswa

 

Contoh Soal Himpunan dan Pembahasannya

1. Diketahui suatu RW terdiri dari 30 orang mengadakan lomba perayaan 17 Agustus. Ada 14 orang yang mengikuti lomba panjat pinang, lalu ada juga 12 orang yang mengikuti lomba tarik tambang, dan sisa nya ada 7 orang yang tidak mengikuti kompetisi apapun.

Berapa banyak orang yang mengikuti kedua lomba tersebut ?

Pembahasan

Misal x adalah banyaknya warga RW yang mengikuti kedua lomba, maka himpunan tersebut bisa digambarkan sebagai berikut:

Karena jumlah dari semua warga adalah = 30 orang, maka :

30 = x + (14 – x) + (12 – x) + 7

30 = 33 – x

x = 33 – 30

x = 3

Jadi, banyaknya warga yang mengikuti kedua lomba adalah 3 orang.

2. Diketahui:

A = { x | 4 ≤ x ≤ 8, x ⋲ bilangan asli }.

B = { x | 6 ≤ x ≤ 10, x ⋲ bilangan cacah }.

Maka tentukanlah anggota dari A ∪ B ?

Pembahasan

A = { 4, 5, 6, 7, 8}

B = {6, 7, 8, 9, 10}

A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya adalah gabungan semua anggota A dan semua anggota B, maka:

A ∪ B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Jadi, anggota dari himpunan A ∪ B adalah { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

3. Di ketahui :

P = { x | 5 < x < 25,  x ⋲ bilangan prima }.

Q = { x | 4 < x < 14,  x ⋲ bilangan ganjil }.

Maka tentukanlah anggota dari A ∩ B ?

Pembahasan

P = {7, 11, 13, 17, 19, 23}

Q = {5, 7, 9, 11, 13}

A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus merupakan anggota Q, maka:.

A ∩ B = {7, 11, 13}

Jadi, anggota dari himpunan A ∩ B adalah {7, 11, 13}.

4. Suatu kelas terdiri dari 40 orang siswa, dan diantaranya ada 15 orang siswa yang menyukai pelajaran matematika, lalu ada 13 orang siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan yang 7 orang siswa yang menyukai keduanya.

Berapa banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris ?

Pembahasan

Misal

x = banyak siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran.

Maka:

Banyak siswa yang hanya menyukai matematika adalah 15 – 7 = 8 orang siswa.

Banyak siswa yang hanya menyukai bahasa inggris adalah 13 – 7 = 6 orang siswa.

Himpunan tersebut bisa digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut:

Banyak anak yang tidak menyukai kedua pelajaran ialah :

40 = 8 + 7 + 6 + x

40 = 21 + x

x = 40 – 21

x = 19

Jadi, banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris adalah 19 orang.

5. Sebuah tim sepak bola beranggota 50 orang. Terdapat 30 orang yang bisa bermain sebagai forward (penyerang), ada 15 orang yang bisa bermain sebagai forward dan defender (pemain bertahan). Jika ada 10 orang yang tidak bisa bermain sebagai forward maupun defender, hitunglah berapa banyak orang hanya bisa bermain sebagai defender ?

Pembahasan

Misal:

x = pemain yang hanya bisa bermain sebagai defender.

Maka:

Banyak pemain yang hanya bisa bermain sebagai forward adalah 30 – 15 = 15 orang.

Maka himpunannya bisa digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut:

Banyaknya pemain yang hanya bisa bermain sebagai defender adalah :

50 = 15 + 15 + 10 + x

50 = 40 + x

x = 50 – 40

x = 10 orang

Jadi, banyaknya orang hanya bisa bermain sebagai defender adalah 10 orang.

Demikian beberapa contoh soal tentang himpunan beserta pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat bagi anda yang ingin latihan soal himpunan untuk menambah pengetahuan anda dalam menyelesaikan persoalan himpunan lainnya.

Selamat Belajar.

 

Berikut soal-soal mengenai himpunan lengkap dengan pembahasannya yang memudahkan kamu untuk menguasai materi tersebut:

1. Soal Satu

Pada perayaan Hari Kemerdekaan RI, RW 11 Desa Asri mengadakan berbagai perlombaan.

Jumlah peserta lomba tarik tambang sebanyak 12 orang dan peserta panjat pinang 14 orang.

Ada 7 orang yang tidak berpartisipasi pada lomba apapun. Warga RW 11 berjumlah 30 orang. Pertanyaannya, berapakah jumlah orang yang mengikuti kedua lomba?

Jawaban:

Pembahasan dari contoh soal himpunan beserta jawabannya diawali dengan membuat permisalan dulu.

Anggap saja x merupakan warga RW 11 yang berpartisipasi pada kedua lomba. Kemudian, langsung masuk ke penghitungan:

Total warga = x + (peserta panjat pinang – x) + (peserta tarik tambang – x) + warga yang tidak ikut

30 orang = x + (14 orang – x) + (12 orang – x) + 7 orang

30 orang = 33 orang – x

x = 33 orang – 30 orang = 3 orang

Jadi, ada 3 orang dari RW 11 yang sama sekali tidak ikut lomba panjat pinang dan tarik tambang.

2. Soal Dua

Dapat diketahui dari soal, bahwa terdapat A dan B yang memiliki anggota masing-masing.

A = {x │4 ≤ x ≤ 8, x bilangan asli}

B = {x │6 ≤ x ≤ 10, x bilangan cacah}

Carilah anggota dari A gabungan B tersebut!

Jawaban:

Cara untuk menyelesaikan contoh soal himpunan A gabungan B sangat mudah. Kamu tidak perlu menggunakan rumus khusus karena cukup memahami konsep dan konteks soalnya.

A gabungan B diartikan sebagai sebuah himpunan yang anggotanya berasal dari gabungan semua anggota himpunan A dan himpunan B tanpa terkecuali.

Pertama, uraikan dulu anggota dari himpunan A yang terdiri dari bilangan asli dan himpunan B yang terdiri dari bilangan cacah.

A beranggotakan {4,5,6,7,8}

B beranggotakan {6,7,8,9,10}

Jadi, anggota dari himpunan A gabungan B terdiri dari {4,5,6,7,8,9,10} berdasarkan konteks soal.

3. Soal Tiga

Jumlah siswa di kelas VII D sebanyak 40 orang.

Terdapat 15 orang siswa yang menggemari mata pelajaran Biologi, sedangkan terdapat 13 orang siswa yang menggemari Kimia.

Diketahui juga bahwa terdapat 7 siswa yang menyukai mata pelajaran Biologi dan Kimia tersebut. Lalu, berapa jumlah siswa kelas VII D yang tidak menggemari Biologi maupun Kimia?

Baca Juga :

 

Jawaban:

Buat permisalan x untuk mewakili siswa yang tidak suka kedua mata pelajaran tersebut sebagai langkah awal menyelesaikan contoh soal himpunan beserta jawabannya.

x = siswa VII D yang tidak suka Biologi maupun Kimia

Lanjutkan dengan penghitungan sederhana, yakni:

Jumlah siswa yang hanya suka Biologi: 15 orang – 7 orang = 8 orang, dimisalkan dengan y

Jumlah siswa yang hanya suka Kimia: 13 orang – 7 orang = 6 orang, dimisalkan dengan z

Sekarang, tinggal menghitung siswa VII D yang tidak menggemari keduanya. Penghitungannya menjadi:

Jumlah siswa = y + z + x

40 orang = 8 orang + 7 orang + x

40 orang = 21 orang + x

X = 40 orang – 21 orang = 19 orang

Dengan begitu, siswa VII D yang tidak suka Biologi dan Kimia sebanyak 19 orang.

4. Soal Empat

Berikut merupakan contoh soal himpunan A irisan B dan cara penyelesaiannya yang benar.

Cobalah cermati dua himpunan dan anggotanya masing-masing di bawah ini:

A beranggotakan {x │5 > x < 25, x bilangan prima}

B beranggotakan {x │4 < x < 14, x bilangan ganjil}

Berdasarkan konteks tersebut, carilah anggota dari himpunan A irisan B!

Jawaban:

Pertama, deskripsikan dulu anggota dari setiap himpunan tersebut sesuai dengan aturan pada soal, maka didapat:

A terdiri dari {7,11,13,17,19,23}

B terdiri dari {5,7,9,11,13}

Jadi, dapat diketahui bahwa anggota himpunan A irisan B meliputi {7,11,13}.

5. Soal Lima

pexels.com/Andrea Piacquadio

Negara ABC memiliki tim sepak bola yang berjumlah 50 pemain.

Jumlah pemain yang jago di posisi penyerang sebanyak 30 orang dan 15 orang lain jago menyerang sekaligus bertahan.

Sebanyak 10 orang dalam tim tersebut tidak mahir memainkan posisi sebagai penyerang maupun bertahan. Berapakah pemain dari tim tersebut yang hanya jago dalam posisi bertahan?

 

Jawaban:

Dalam memahami contoh soal himpunan beserta jawabannya dengan baik, kamu harus memahami konteks soal dulu. Cari informasi yang bisa didapat dari soal.

Dari soal, bisa diketahui jumlah pemain yang hanya jago di posisi penyerang, yakni:

30 orang – 15 orang = 15 orang.

Misalkan x adalah jumlah orang yang hanya jago di posisi bertahan. Narasi tersebut merupakan contoh soal himpunan diagram venn sehingga bisa digambarkan diagram venn seperti ini:

mamikos.com

Kemudian, masuk ke penghitungan pemain yang hanya jago bertahan, yakni:

Mari gunakan permisalan untuk memudahkan penghitungan, ya!

x = pemain bertahan saja

y = pemain menyerang saja

z = pemain jago keduanya

a = pemain tidak jago keduanya

t = total pemain

t = y + z + a + x

50 orang = 15 orang + 15 orang + 10 orang + x

x = 50 orang – 40 orang

x = 10 orang

Jadi, ada 10 pemain yang hanya jago bertahan.

6. Soal Enam

Selama proses rekrutmen, terdapat 69 pelamar yang lolos mengikuti tes tertulis dan wawancara.

Terdapat 48 orang yang lulus wawancara dan 48 orang yang lulus tes tertulis.

Namun, diketahui bahwa ada 6 orang yang tidak mengikuti tes tertulis maupun wawancara. Lalu, berapakah jumlah pelamar yang diterima sebagai karyawan di perusahaan tersebut?

Jawaban:

Dari informasi yang termuat pada contoh soal himpunan anggota tersebut, maka bisa diketahui bahwa:

Jumlah pelamar yang dinyatakan diterima = x

Jumlah pelamar yang lulus tes tertulis saja = 48 orang – x

Jumlah pelamar yang lulus wawancara saja = 32 orang – x

Jumlah pelamar yang tidak ikut seleksi = 6 orang

Selanjutnya, masuk ke penghitungan dengan memasukkan angka-angka tersebut:

(48 – x) + (x) + (32 -x) = 69 orang

80 – x = 69 orang

x = 80 orang – 69 orang = 11 orang

Jadi, pelamar yang lolos sebagai karyawan sebanyak 11 orang.

7. Soal Tujuh

Selanjutnya, pelajari juga contoh soal himpunan beserta jawabannya dengan diagram venn berikut ini:

mamikos.com

Kelas A memiliki 40 siswa. Sebanyak 26 siswa menyukai pelajaran seni rupa, 20 siswa menyukai pelajaran bahasa Indonesia dan 7 siswa tidak menyukai keduanya.

Hitunglah jumlah siswa yang menggemari pelajaran seni rupa dan bahasa Indonesia!

Jawaban:

x = siswa yang suka seni rupa dan bahasa Indonesia

20 – x = siswa yang suka bahasa Indonesia

26 – x = siswa yang suka seni rupa

z = siswa yang tidak suka keduanya

Himpunan tersebut digambarkan dalam diagram venn menjadi seperti ini:

Masuk ke penghitungan, yakni:

(26 – x) + (x) + (20 – x) + 7 = 40 orang

53 – x = 40 orang

x = 13 orang

Jadi, siswa di kelas A yang suka pelajaran seni rupa dan bahasa Indonesia sebanyak 13 orang.